Свойства случайных процессов
В приведенном выше примере с потреблением электроэнергии, выборочное среднее значение определяется как среднее арифметическое значений элементов наблюдённого временного ряда. Теоретическое среднее значение (или математическое ожидание) - это "ожидаемое" значение каждого элемента случайного процесса, т. е. результат осреднения всех возможных значений интересующей нас величины. Если процесс Эргодический, то его начальные и центральные теоретические Моменты (в том числе среднее, дисперсия и т. д.) могут быть оценены "хорошо" (или, если быть точным, "Состоятельно" - см. ниже) при помощи соответствующих моментов наблюдённого временного ряда, взятого за достаточно длительный период времени.
Пусть, например, переменная у подчиняется модели АR(1) следующего вида:
(1.3)
Где
, - случайная величина с нулевой средней и постоянной дисперсией
, не коррелирующая с любой другой величиной из последовательности
{
,
...,-1, 0, 1,2, ...}}, т. е.

(1.4)
для любого 
Случайный процесс с подобными свойствами часто называют «Белым шумом». Класс процессов, являющихся белым шумом, входит в более общий класс случайных процессов, а именно стационарных случайных процессов. Случайный процесс
, слабо стационарен, если имеет постоянные математическое ожидание и дисперсию, а ковариация между любыми двумя его элементами зависит только от промежутка времени между этими элементами:
(1.5)
Случайный процесс
Строго стационарен, Если при любом П (п = 1, 2, ...) совместное распределение П Элементов случайного процесса
взятых для произвольных моментов времени
не зависит от сдвига во времени, т. е. для любого целого числа Т и любых промежутков

В данной главе термин Стационарность Будет в основном употребляться применительно к Слабой стационарности. Если процесс строго стационарен и имеет конечные начальные моменты второго порядка, то, очевидно, он будет слабостационарным. Обратное, вообще говоря, не верно. Однако важно обратить внимание, что если процесс слабо стационарен и нормально распределен, то он также Строго стационарен.
Уравнение (1.3) можно записать следующим образом:
(1.6)
где L — оператор сдвига, для которого
является, таким образом, полиномом первого порядка от оператора сдвига.
Если уравнение (1.3) Записать для периода t - 1, получим
(1.7)
Подстановка равенства (1.7) в уравнение (1.3) Даст уравнение:
(1.8)
Если в уравнении (1.3) заменить T на t - 2, т. е. перейти на два периода назад, и подставить результат в (1.8), То получим выражение для
, через переменные
,
,
, и
. Выполняя аналогичные подстановки лаговых значений у, после П - 1 замен получим:
(1.9)
Если
, то по мере увеличения П ( )
Неограниченно уменьшается (
). Поэтому, переходя к пределу при
, получаем
(1.10)
или с использованием оператора сдвига:

Применив к обеим частям этого уравнения оператор сдвига, умноженный на
, и вычтя полученное выражение из (1.10), Получим
(1.11)
или, переходя к обратному оператору,

Поскольку
, является белым шумом, то из (1.10) Получим

Сравнивая выражения (1.12) С (1.5), получим, что процесс AR(1), заданный уравнением (1.3), Является стационарным при
.
Фактически вся стандартная эконометрическая теория базируется на предположении о стационарности рассматриваемых процессов. Однако большое число экономических временных рядов — Особенно в макроэкономике и финансах не обладают свойством стационарности. Технике исследования нестационарных процессов посвящена обширная литература (см., например, [1], [2], [4]).
Свойства случайных процессов - 5.0 out of
5
based on
1 vote