Свойства случайных процессов

В приведенном выше примере с потреблением электроэнергии, выборочное

среднее значение определяется как среднее арифметическое значений элементов наблюдённого временного ряда. Теоретическое среднее значение (или математическое ожидание) — это «ожидаемое» значение каждого элемента случайного процесса, т. е. результат осреднения всех возможных значений интересующей нас величины. Если процесс Эргодический, то его начальные и центральные теоретические Моменты (в том числе среднее, дисперсия и т. д.) могут быть оценены «хорошо» (или, если быть точным, «Состоятельно» — см. ниже) при помощи соответствующих моментов наблюдённого временного ряда, взятого за достаточно длительный период времени.

Пусть, например, переменная у подчиняется модели АR(1) следующего вида:

(1.3)

Где , — случайная величина с нулевой средней и постоянной дисперсией , не коррелирующая с любой другой величиной из последовательности

{, …,-1, 0, 1,2, …}}, т. е.

(1.4)

для любого

Случайный процесс с подобными свойствами часто называют «Белым шумом». Класс процессов, являющихся белым шумом, входит в более общий класс случайных процессов, а именно стационарных случайных процессов. Случайный процесс , слабо стационарен, если имеет постоянные математическое ожидание и дисперсию, а ковариация между любыми двумя его элементами зависит только от промежутка времени между этими элементами:

(1.5)

Случайный процесс Строго стационарен, Если при любом П (п = 1, 2, …) совместное распределение П Элементов случайного процесса взятых для произвольных моментов времени не зависит от сдвига во времени, т. е. для любого целого числа Т и любых промежутков

В данной главе термин Стационарность Будет в основном употребляться применительно к Слабой стационарности. Если процесс строго стационарен и имеет конечные начальные моменты второго порядка, то, очевидно, он будет слабостационарным. Обратное, вообще говоря, не верно. Однако важно обратить внимание, что если процесс слабо стационарен и нормально распределен, то он также Строго стационарен.

Уравнение (1.3) можно записать следующим образом:

(1.6)

где L — оператор сдвига, для которого является, таким образом, полиномом первого порядка от оператора сдвига.
Если уравнение (1.3) Записать для периода t — 1, получим

(1.7)

Подстановка равенства (1.7) в уравнение (1.3) Даст уравнение:

(1.8)

Если в уравнении (1.3) заменить T на t — 2, т. е. перейти на два периода назад, и подставить результат в (1.8), То получим выражение для , через переменные , , , и . Выполняя аналогичные подстановки лаговых значений у, после П — 1 замен получим:

(1.9)

Если , то по мере увеличения П ( ) Неограниченно уменьшается (). Поэтому, переходя к пределу при , получаем

(1.10)

или с использованием оператора сдвига:

Применив к обеим частям этого уравнения оператор сдвига, умноженный на , и вычтя полученное выражение из (1.10), Получим

(1.11)

или, переходя к обратному оператору,

Поскольку , является белым шумом, то из (1.10) Получим

Сравнивая выражения (1.12) С (1.5), получим, что процесс AR(1), заданный уравнением (1.3), Является стационарным при .
Фактически вся стандартная эконометрическая теория базируется на предположении о стационарности рассматриваемых процессов. Однако большое число экономических временных рядов — Особенно в макроэкономике и финансах не обладают свойством стационарности. Технике исследования нестационарных процессов посвящена обширная литература (см., например, [1], [2], [4]).