08 | 12 | 2016
Экономика
Литература

Макроэкономические производственные функции

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.63 (4 Голоса)

Производственные функции отображают зависимость результата от затрат ресурсов. В формализованном описании экономики с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как «черный ящик», на вход которого поставляют ресурсы , а на выходе – результаты в виде годовых объемов производства разных видов продукции .

В качестве ресурсов на макроуровне рассматриваются: накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) и текущий (живой) труд . А как результат – валовой выпуск (или валовой внутренний продукт , национальный доход ).

Экономика замещается своей моделью в форме нелинейной производственной функции:

, (9)

То есть выпуск продукции выступает в функции от затрат ресурсов (фондов и работы).

Производственную функцию , называют неоклассической, если она гладкая и удовлетворяет условиям, которые имеют четкую, непротиворечивую, обоснованную экономическую интерпретацию:

1.  При отсутствии хотя бы одного из ресурсов производство невозможно;

2.  , С ростом объемов ресурсов возрастает и выпуск;

3.  , С ростом объемов ресурсов скорость возрастания выпуска снижается;

4.  При неограниченном росте объемов одного из ресурсов выпуск также неограниченно растет.

Мультипликативная ПФ задается выражением:

, (10)

Где Коэффициент нейтрального технического прогресса; Коэффициенты эластичности по фондам и по труду , соответственно. Производственная функция (10) обладает свойством 1, что является адекватным реальной экономике: вследствие отсутствия одного из ресурсов производство невозможно.

Частным случаем неоклассической мультипликативной ПФ является функция Кобба-Дугласа:

.

Мультипликативная ПФ определяется по данным временного ряда выпуска и затрат ресурсов , где Длина временного ряда, и считается, что имеет место соотношение

,

Где Корректирующий случайный коэффициент, который приводит в соответствие фактический и теоретический выпуски и отображает флуктуацию результатов под влиянием ряда других (случайных) факторов, кроме этого, математическое ожидание Поскольку в логарифмах эта функция линейна:

,

Где , , то получаем модель линейной множественной регрессии. Параметры функции: могут быть определены с использованием метода наименьших квадратов.

Мультипликативная функция удовлетворяет также свойству 2, что адекватно реальной экономике: с возрастанием затрат ресурсов выпуск также возрастает, то есть:

, поскольку . (11)

Частные производные выпуска по факторам, которые называют предельными продуктами, или предельными (маргинальными) эффективностями факторов, является приростом выпуска, приходящуюся на малую часть прироста фактора:

Предельный продукт фондов (предельная фондоотдача, предельная эффективность фондов);

Предельный продукт труда (предельная производительность труда, предельная эффективность труда).

Для мультипликативной функции с (11) вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче с коэффициентом , а предельная производительность труда Средней производительности труда с коэффициентом пропорциональности .

. (12)

Из (12) следует, что при предельные отдачи факторов меньше средних; при этих условиях мультипликативная функция имеет свойство 3, что часто наблюдается в реальной экономике: с ростом затрат ресурсов его предельная отдача убывает, то есть:

(13)

.

Из (9) также понятно, что мультипликативная функция имеет свойство 4, то есть при неограниченном росте объема одного из ресурсов выпуск также неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функция при Неоклассическая.

Параметр интерпретируют как параметр нейтрального технического прогресса: при одних и тех же значениях и выпуск в точке будет тем больше, чем больше .

Для интерпретации параметров и воспользуемся понятием коэффициентов эластичности. Существует понятие эластичности, как логарифмической производной производственных факторов:

(14)

Поскольку , то , , то есть Коэффициент эластичности выпуска по основным фондам, а Коэффициент эластичности выпуска по труду.

Из (14) следует, что Коэффициент эластичности фактора показывает, на сколько процентов увеличится выпуск, если фактор возрастает на 1%.

Рассмотрим Темпы роста выпуска:

. (15)

Если возвести обе части (15) в степень , то получим соотношение

, (16)

В котором справа – взвешенное среднегеометрическое темпов роста затрат ресурсов, с весовыми коэффициентами – относительные коэффициенты эластичности факторов:

, ,

Если , то выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы, а если – медленнее. Действительно, если факторы (их объемы) возрастают, то есть , то в соответствии с (15) возрастает и выпуск (то есть ), итак, при :

.

Темпы роста выпуска будут большими, чем средние темпы роста факторов. Итак, если , то ПФ описывает растущую экономику.

Линией уровня На плоскости или Изоквантой, называют геометрическое множество точек плоскости, для которых ПФ постоянна: .

Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид:

, или ,

То есть это гипербола степени , асимптотами которой являются оси координат.

Для разных объемов на конкретной изокванте, выпуск равен значению , что эквивалентно утверждению о взаимном замещении ресурсов. Поскольку на изокванте , то

. (17)

В этом соотношении , , поэтому и должны иметь значения разных знаков: если , что означает сокращение объемов труда, то , то есть уменьшенный в объеме труд заменяется фондами в объеме .

Из (17) вытекает определение: Предельной нормой замещения (Замены) труда фондами называют отношения модулей дифференциалов ОФ и труда:

.

И, соответственно, предельная норма замещения фондов работой :

.

Легко заметить, что .

Для мультипликативной производственной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондообеспеченности:

, ,

Что является естественным – недостачу объемов труда можно компенсировать его лучшей фондообеспеченностью.

Изоклиналями называют линии наискорейшего роста ПФ. Изоклинали ортогональны линиям нулевого роста, то есть, ортогональны изоквантам. Поскольку направление наискорейшего роста в каждой точке задается градиентом: , то уравнение изоклинали можно записать таким образом:

.

В частности, для мультипликативной ПФ имеем:

,

Поэтому изоклиналь можно задать дифференциальным уравнением:

,

Которое имеет решение:

,

,

Где Координаты точки, через которую проходит изоклиналь.

Если предположить, что , то полученное уравнение изиклинали, которая проходит через соответствующие точки плоскости (она является прямой):

.

Анализируя Факторы роста экономики, выделяют Экстенсивный фактор роста (за счет увеличения объемов затрат ресурсов, то есть увеличения масштаба производства) и Интенсивный Фактор роста (благодаря повышению эффективности использования ресурсов).

С помощью ПФ можно отличить и описать масштаб и эффективность производства. Это можно осуществить, если выпуск и затраты будут выражены в одинаковых единицах, например, в стоимостной форме. Легче перейти к относительным (безразмерным) показателям измерения. В данном случае ПФ можно представить так:

, (19)

Где Значения объемов выпуска и затрат фондов и работы в базовом году.

Безразмерную форму (19) необходимо привести к начальному виду:

.

Коэффициент получает экономически прозрачное содержание:

,

Который сопоставляет ресурсы с выпуском. Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмерных) единицах измерения через , то ПФ в форме (19) можно представить следующим образом:

, (20)

Где .

Найдем аналитическое выражение для эффективности экономики. Эффективность – это отношение результата к затратам. В нашем случае – два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов и живого труда . Таким образом, имеем два частичных показателя эффективности: – фондоотдача, Производительность труда.

Поскольку частные показатели имеют одинаковую размерность (они безразмерные), то можно находить любые средние из них. Поскольку ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в той же самой форме, то есть как взвешенное среднегеометрическое частичных показателей эффективности:

, (21)

Роль весовых коэффициентов здесь играют относительные эластичности:

, ,

То есть частичные эффективности входят в общую (обобщенную) эффективность с такими же самыми приоритетами, с которыми входят в ПФ соответствующие ресурсы.

Из (21) вытекает, что с помощью коэффициента экономической эффективности ПФ можно представить в форме, которая внешне совпадает с функцией Кобба-Дугласа:

, (22)

Но в соотношении (21) Не постоянный коэффициент, а функция от .

Поскольку масштаб производства представлен в объемах израсходованных ресурсов, то, учитывая одни и те же соображения, что и в случае построения обобщенного показателя экономической эффективности, определим и взвешенное среднегеометрическое использованных ресурсов (как масштаб производства):

. (23)

Из (22) и (23) получим, что выпуск является произведением экономической эффективности и масштаба производства:

. (24)

Производственную функцию называют однородной степени , если:

. (25)

Мультипликативная функция является однородной степени . Что касается однородных ПФ, то можно получить упрощенное выражение для нормы замещения. Действительно:

,

Где Фондообеспеченность. Поэтому

,

,

Откуда имеем:

, (26)

То есть норма замещения является функцией лишь фондообеспеченности.

Для однородных производственных функций вводится понятие: Эластичность замещения труда фондами :

. (27)

Эта величина показывает, на сколько процентов необходимо изменить фондообеспеченность, чтобы достичь изменения нормы замещения на один процент. Аналогичным образом вводится показатель: Эластичность замены фондов трудом :

. (28)

Рассмотрим класс производственных функций с постоянной эластичностью замещения – CES-функции. Они строятся таким образом:

. (29)

Соотношение (29) рассматривается как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и простым интегрированием его имеем: (Произвольная постоянная интегрирования). Подставляя выражение для в (26), получаем:

, или ,

Отсюда

,

Где Произвольная постоянная.

В результате получаем:

,

Или в переменных и :

.

Если осуществить переобозначения: , , , получим функцию с постоянной эластичностью замещения (CES-функцию):

. (30)

В этой функции , поскольку Это выпуск, а если , , то она удовлетворяет условиям 2 и 3 для неоклассических производственных функций. Если , то CES-функция стремится к функции Кобба-Дугласа, а когда К функции с фиксированными пропорциями , которая описывает случай замены (замещения) факторов . Если , то CES-функция переходит в линейную функцию вида , где .


Макроэкономические производственные функции - 4.5 out of 5 based on 4 votes