11 | 12 | 2016
Экономика
Литература

Однофакторные и многофакторные производственные функции

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 Голос)

Понятие производственной функции (ПФ) является основным в экономической теории. Оно используется для описания принципа «затраты—выпуск» на микро - и макроэкономических уровнях. Затрачиваются ресурсы производства — факторы производства (один или несколько) — в определенных количествах, выпускается продукция в определенном объеме. Формально производственная функция выглядит так:

производственная функция(3.1)

или

(3.2)

Где У — объем (количество) выпускаемой продукции; в (3.1) X — количество затрачиваемого (используемого) ресурса (т. е. ), в (3.2) X1,..., XN, — количества затрачиваемых (используемых) ресурсов; вектор (X1,…,XN) называется конфигурацией ресурсов, ,...,; A1,…,AM — параметры; символ называемый характеристикой ПФ, показывает, как количество ресурса формально преобразуется в объем выпускаемой продукции.

Производственная функция (3.1) называется Однофакторной (одноресурсной — редко используемый термин); ПФ используются для решения разнообразных аналитических, плановых и прогнозных задач и в прикладных исследованиях.

Производственная функция может иметь разные области использования. Микроэкономическая производственная функция (МИIIФ) имеет в качестве области использования (содержательной области) отдельную фирму, производственный комплекс, отрасль. Макроэкономическая производственная функция (МАПФ) имеет в качестве области использования национальную экономику, экономику региона. В МАПФ наряду с малыми F, X1,..., XN, У используют большие символы F, X1,..., XN, Y: Y = F(X1,..., XN; A1,…,AM ).

В МИПФ количества затрачиваемых (используемых) ресурсов я объем выпускаемой продукции часто выражаются в натуральной форме: капитал — в штуках оборудования; труд в часах затрачиваемого времени (возможно по различным видам трудовой деятельности); энергия — в киловатт-часах; материалы, комплектующие — в соответствующих единицах и т. п.

В ПФ крупных отраслей, регионов и национальной экономики количества затрачиваемых ресурсов и объемы выпускаемой продукции выражаются в стоимостной форме (как правило, в постоянных ценах).

Выбор ресурсов и аналитической формы ПФ Y = F (X1,..., XN) называется Спецификацией ПФ.

Преобразование реальных и экспертных данных в модельную информацию, т. е. расчет численных значений параметров A1,…,AM ПФ на базе статистических данных с помощью регрессионного анализа называется Параметризацией ПФ

Проверка адекватности ПФ описываемой ею реальности называется Верификацией ПФ.

Выбор аналитической формы ПФ , (т. е. ее спецификация) диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны явно (или косвенно) учитывать особенности взаимосвязей между объемами конкретных ресурсов и выпускаемой продукции или экономических закономерностей, особенности реальных и экспертных данных, преобразуемых в параметры ПФ (т. е. особенности параметризации). На спецификацию и параметризацию в процессе совершенствования ПФ оказывают влияние результаты верификации. Оценки параметров ПФ обычно проводятся с помощью регрессионного анализа. Отметим что выбор более продвинутой в аналитическом отношении ПФ обычно предъявляет повышенные требования к ее параметризации, которые могут быть по существу невыполнимыми. Это означает, что продвинутая в аналитическом отношении ПФ, параметры которой сформированы на базе не удовлетворяющих высоким требованиям реальных и экспертных данных, может давать менее точные результаты расчетов, чем более простая в аналитическом отношении ПФ. Таким образом, в случае ПФ (как и вообще в случае прикладных экономико-математических моделей) следует говорить о ее комплексной адекватности, принимая во внимание рациональное сочетание уровня аналитических построений и качества информационного обеспечения.

Производственная функция называется статической, если ее параметры A1,…,AM, и сама ее характеристика F не зависят от времени, хотя объемы ресурсов и выпуска продукции могут зависеть от времени T т. е. могут иметь представление в виде временных рядов XI(0), XI(1),…, XI(T), Y(0),Y(1),…, Y(T), I = 1,…,n. Здесь T = 0, 1,…, Т — номер года; T = 0 — базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1, 2,…,Т.

Производственная функция называется динамической, если, во-первых, время T фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного ресурса — фактора производства, влияющего на объем выпускаемой продукции); во-вторых, параметры A1,…,AM и ее характеристика F зависят от времени T.

В статических и динамических ПФ время может быть как дискретным, так и непрерывным. В прикладных ПФ время, как правило, дискретное, и «атомом» времени (т. е. производственным периодом) является один год (квартал, месяц и т. п.). В этом случае объемы ресурсов X1(T),..., XN(T) и выпускаемой продукции Y(t) а также параметры A1(T),..., AN(T) «привязаны» к периоду времени T. В теоретических ПФ время может быть как дискретным, так и непрерывным. Производственные функции с дискретным временем более адекватны реальности, однако ПФ с непрерывным временем более удобны для проведения теоретических исследований.

Далее в основном будут рассматриваться двухфакторные ПФ . Во-первых, при исследовании двухфакторных ПФ можно использовать наглядные геометрические соображения, ибо пространство ресурсов таких ПФ является двумерным. Во - вторых, основные положения теории двухфакторных ПФ по аналогии переносятся на многофакторные ПФ.

- Пример 3.1. Производственная функция вида является однофакторной. Здесь X — объем затрачиваемого (используемого) ресурса; Y = F(X) — объем выпускаемой продукции. В качестве ресурса может фигурировать рабочее время, в качестве выпускаемой продукции - партия валенок. Величины А0 и А1 — параметры рассматриваемой ПФ. Параметры А0 > 1 и А1 > 0 и обычно . Таким образом, здесь N =1,M =2.

Объемы X и Y, а также параметры А0 и А1 «привязаны» к некоторому фиксированному производственному периоду, который может равняться, например, одному году. Если производственный период меняется, то объемы х и у, а также значения параметров А0 и А1 могут измениться.

График Г производственной функции изображен на рис. 3.1. Он показывает, что с ростом объема X затрачиваемого ресурса растет объем у выпускаемой продукции, однако каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема У выпускаемой продукции: . Отмеченное обстоятельство (рост объема Y и уменьшение прироста объема Y с ростом объема ресурса X) отражает важное положение экономической теории, хорошо подтверждаемое практикой, называемое законом убывающей эффективности.

График производственной функции

Пример 3.2. Производственная функция вида является двухфакторной. Она называется производственной функций Кобба—Дугласа (ПФКД) по имени двух американских исследователей, которые предложили ее использовать в работе, опубликованной в 1929г. В приложениях и в теоретических исследованиях: X1 = К — объем используемого основного производственного капитала; Х2 = L — затраты труда. С использованием символов К и L рассматриваемая ПФ перепишется так:

Параметры А0, А1, А2 — положительные величины; часто . Производственная функция Кобба—Дугласа принадлежит к классу так называемых мультипликативных ПФ. Благодаря своей структурной простоте ПФКД активно применялась и применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач.

Если А1 + а2 < 1, то график Г ПФКД представляет собой поверхность, похожую на выпуклую вверх «горку», крутизна которой падает по мере того, как конфигурация (Х1, Х2) ресурсов перемещается на «северо-восток» по плоскости 0Х1Х2 (рис. 3.2).

При имеем . В этом случае вертикальная плоскость пересекает поверхность Г по линии G, которая в плоскости имеет уравнение (рис. 3.3). Линия G аналогична линии Г на рис. 3.1. Поведение линии G на рис. 3.3 отражает то обстоятельство, что при фиксированном объеме второго ресурса с ростом затрат первого ресурса объем у выпуска растет, но каждая дополнительная единица первого ресурса обеспечивает все меньший прирост выпуска.

Отмеченное обстоятельство адекватно реальности в случае, например, если число работников (второй ресурс) и их квалификация остаются неизменными, а число станков (первый ресурс), которые работники обслуживают, увеличивается, скажем, в два Раза, то объем выпускаемой продукции в этом случае вырастет менее, чем в два раза.

Пример 3.3. Линейная производственная функция (ЛПФ) имеет вид у=А0+А1Х1 + А2Х1 (двухфакторная) и У = А0+А1Х1 + … + АNХN (многофакторная). Она принадлежит классу так называемых аддитивных ПФ. Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Обратный переход осуществляется с помощью операции потенцирования.

Для двухфакторной мультипликативной ПФ получаем аддитивную ПФ в следующей форме:

Полагая ln Y = W, ln Х1 = V1, ln Х2 = V2, получим аддитивную ПФ такого вида:

Пример 3.4. Производственная функция затраты—выпуск (ПФЗВ) (производственная функция Леонтьева (ПФЛ)) имеет вид:

Пример 3.5. Производственная функция с постоянной эластичностью замены ресурсов (ПФ ПЭЗР) (производственная функция CES, если использовать западную аббревиатуру) имеет вид:

Линия уровня производственной функции называется изоквантой, т. е. линией постоянного выпуска . Уравнение изокванты, содержащей конфигурацию ресурсов строится так: сначала определяем объем выпуска , а затем выписываем само уравнение изокванты

Пример 3.6. для ПФКД имеем уравнение изокванты:

,

Откуда следует равенство:

Графиком которого является гипербола с вертикальной асимптотой Х1 = 0 и горизонтальной асимптотой Х2 = 0 (рис. 3.4).

При гипербола расположена «юго-западнее> гиперболы , при Гипербола , расположены северо-восточнее гиперболы . Изокванты, соответствующие различным объемам выпусков т, не касаются друг друга и не пересекаются.

Все сказанное справедливо для изоквант других ПФ, которые отличны от ПФКД . Множество всех изоквант называется Картой изоквант. На конкретном рисунке можно изобразить лишь фрагмент карты изоквант (на рис. 3.4 он похож на «совокупность кривых макарон»).

На изокванте (см. рис. 3.4) изображены две конфигурации ресурсов: и , которые отличаются друг от друга, но обеспечивают одинаковый выпуск продукции. Если рассматриваемая ПФ описывает копание ямы, то число равно объему ямы, X1 — количество капитала, Х2 — количество труда. В этом случае конфигурация ресурсов показывает, что яму объемом можно выкопать, затратив много труда и относительно мало капитала. Содержательно эта ситуация интерпретируется артелью с лопатами (отметим, что лопата — дешевый капитал). Конфигурация ресурсов показывает, что яму объемом можно выкопать, затратив много капитала и относительно мало труда. Содержательно эта ситуация интерпретируется экскаватором, на котором работает один экскаваторщик (отметим, что экскаватор — это дорогой капитал).

Движение конфигурации по изокванте неограниченно вправо — содержательно интерпретируется таким образом: объем выпускаемой продукции может обеспечить один капитал фактически без затрат труда, что не вполне адекватно реальности. Аналогично интерпретируется ситуация с движением конфигурации по изокванте неограниченно вверх. Таким образом, ПФКД адекватна реальности в конечной части пространства ресурсов 0Х1Х2.

Пример 3.7. для ЛПФ имеем уравнение изокванты :

Следовательно, изокванта есть прямая (нисходящая, если А1 > 0 и А2 > 0), точнее отрезок этой прямой, расположенный в пространстве ресурсов, которое представляет собой неотрицательный ортант плоскости 0Х1Х2. На рис. 3.5 показан фрагмент карты изоквант ЛПФ (отметим, что ).

фрагмент карты изоквант ЛПФ

Аналогичную карту изоквант имеет ПФ с линейными изоквантами (ПФЛИ), которая имеет вид:

,

Где показатель степени H > 0.

Пример 3.8. Для ПФЗВ (ПФЛ) имеем уравнение изокванты :

Следовательно, сама изокванта есть две стороны прямого угла, на рис. 3.6 показан фрагмент карты изоквант ПФЗВ (отметим, что ).

Пример 3.9. Для ПФ ПЭЗР имеем уравнение изокванты :

При и H > 0 изоквантаПредставлена на рис. 3.7. Непосредственно проверяется, что асимптотами изоквантыЯвляются прямые Х1 = Х1() и Х2 = Х2(),

Где

Если конфигурация ресурсов перемещается по изокванте неограниченно вверх (см. рис. 3.7), то содержательно это означает, что для выпуска продукции в объеме при любом объеме Х2 второго ресурса необходим первый ресурс в объеме не меньшем, чем Х1() > 0. Аналогично интерпретируется ситуация, когда конфигурация ресурсов перемещается по изокванте неограниченно вправо.

Из сказанного вытекает, что ПФ ПЭЗР более адекватна реальности по сравнению с ПФКД, ибо для обеспечения выпуска в объеме всегда необходимы оба ресурса (капитал и труд), даже если потребности в одном из них возрастают многократно.

При изокванта Есть прямая точнее отрезок прямой в неотрицательном ортанте плоскости 0Х1Х2. Эта прямая имеет уравнение:

Т. е.

Фрагмент карты изоквант представлен на рис. 3.8.

Фрагмент карты изоквант

При уравнение изокванты имеет вид:

Следовательно, сама изокванта есть линия, представленная на рис. 3.9, на котором также изображены изокванты и .

При уравнение изокванты имеет вид:

Следовательно, сама изокванта есть линия, представленная на рис. 3.10, на котором также изображены изокванты и .

Непосредственно проверяется, что

Т. е. получили ПФКД такую, что . Следовательно, ПФКД есть асимптотически частный случай ПФ ПЭЗР при .

Отметим, что переход (*) осуществляется лишь при А1 + А2 = 1. Символ (Л) означает, что применяется правило Лопиталя.

Если А1 + А2 > 1,

Если А1 + А2 < 1

Непосредственно проверяется, что

Таким образом.

.

При H =1 имеем ПФЗФ (ПФЛ).

Следовательно, ПФЗФ (ПФЛ) есть асимптотически частный случай ПФ ПЭЗР при .

Аналогично имеем

.

Пример 3.10. На основании данных по экономике СССР (динамика национального дохода, численность занятых в материальном секторе производства и объем основного производственного капитала), опубликованных за 1960—1985 гг., были рассчитаны параметры A0, А1, А2 МАЛФ КД без учета научно-технологического прогресса (НТП):

И с учетом НТП:

Без учета НТП параметры оказались равными А0 = 1,022, А1 = 0,5382, А2 = 0,4618 (коэффициент детерминации R2 = 0,9969; статистика Дарбина—Уотсона DW = 0,81; названные здесь термины математической статистики рассмотрены в главе первой). При подстановке фактических значений K и L. за 1986 г. ошибка прогноза с помощью ПФКД без учета НТП составила 3%, что свидетельствует о том, что точность прогноза на основе рассмотренной ПФКД без учета НТП относительно невелика.

С учетом НТП параметры ПФКД оказались равными А0 = 1,038, = 0,0294, А1 = 0,9749, А2 = 0,2399 (коэффициент детерминации R2 = 0,9982; статистика Дарбина—Уотсона DW = 1,63)

Пример 3.11. На основании данных по экономике США (динамика ВВП, объем загруженного основного производственного капитала, число отработанных часов) за 1950—1979 гг. были рассчитаны параметры МАПФ Кд без учета НТП и с учетом НТП.

Без учета НТП параметры МАПФ КД

Оказались равными А0 = 2,1005, А1 = 0,7986, А2 = 0,2014 (коэффициент детерминации R2 =0,9907; статистика Дарбина—Уотсона DW = 1,1109).

С учетом НТП параметры МАПФ КД

Оказались равными А0 = 3,7846, 0 = 0,0208, 1 = 0,0129, = 0,289, = 0,7574, А1 = 0,1374, А2 = 0, 8626 (коэффициент детерминации R2 = 0,9973, статистика Дарбина —Уотсона DW = 1,4102). Особо отметим 2, что в последней МАПФ Кд в показателе степени экспоненты фигурирует слагаемое .

Производственная функция может быть задана в неявном виде:

.

Такое выражение называется уравнением производственной поверхности, оно обобщается на случай производства нескольких видов продукции

.

Неявная форма представления объема выпуска (объемов выпуска) используется лишь в теоретических исследованиях.


Однофакторные и многофакторные производственные функции - 5.0 out of 5 based on 1 vote