06 | 12 | 2016
Экономика
Литература

Функции спроса на факторы (ресурсы) в случае долговременного промежутка

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 Голос)

В связи с тем, что, как правило,F(x1, 0) = F(0, x2) О (т. е. если хотя бы один ресурс не затрачивается (не используется), то объем выпускаемой продукции равен нулю), экономически осмысленными являются векторы (x1, x2) затрат ресурсов, для которых x1 > 0, x2 > 0. Поэтому в случае долговременного промежутка задача максимизации прибыли представляет собой обычную задачу на Глобальный абсолютный максимум при x1 > 0 и x2 > 0. Из математического анализа известно, что точкам локального абсолютного максимума следует искать только среди критических точек (x1, x2) функции PR(x1, x2), т. е. среди точек, которые удовлетворяют условиям первого порядка, т. е. системе уравнений:

Или в развернутом виде (ибо прибыль РR(x1, x2) = p0 F(x1, x2) - (р1х1+ р2х2))

(4.1)

Отметим, что экономистов интересует не локальный, а глобальный максимум прибыли. Если производственная функция F(x1, x2) (и следовательно, функция прибыли PR(x1, x2) выпукла вверх при x1 > 0, x2 > 0, то локальный максимум обязательно является глобальным. Отметим, что во многих случаях, которые интересны для экономистов, производственные функции являются выпуклыми вверх. В частности, производственная функция Кобба—Дугласа при , ПФ ПЭЗР при являются выпуклыми вверх функциями при x1 > 0, x2 > 0.

Выпуклость вверх функции PR(x1, x2) (или функции F(x1, x2)) При всех x1 > 0, и x2 > 0 эквивалентна выпуклости вниз функции (-PR(x1, x2)) (или функции (-F(x1, x2))).

График выпуклой вверх производственной функции F(x1, x2) есть поверхность, выпуклая вверх при x1 > 0, и x2 > 0. Сказанное справедливо и для графика прибыли PR(x1, x2) при x1 > 0, и x2 > 0. Для того чтобы функция - PR(x1, x2) (или функция -F(x1, x2)) была выпукла вниз, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы

Т. е. миноры

Построенные на элементах, расположенных на пересечении строк и столбцов этой матрицы с одинаковыми номерами, были неотрицательными при всех x1 > 0, и x2 > 0.

Если последовательно повышающие порядок угловые миноры вышеприведенной матрицы строго положительны, т. е. при всех x1 > 0, и x2 > 0 справедливы неравенства:

То производственная функция Y=F(x1, x2) есть функция (строго) выпуклая вверх, график производственной функции Y=F(x1, x2) в трехмерном пространстве 0x1x2Y есть поверхность (строго) выпуклая вверх. График прибыли PR(x1, x2), получаемый путем вычитания из графика функции p0 F(x1, x2) плоскости Y = р1х1+ р2х2 (которая является графиком издержек), имеет вид «шапочки», у которой есть «макушка». Макушка соответствует глобальному максимуму прибыли:

Для строго выпуклой вверх производственной функции Y=F(x1, x2) система (4.1) имеет Единственное решение (), которое является точкой не только локального, но и глобального (искомого нами) максимума прибыли PR(x1, x2). Вектор () затрат ресурсов, который является решением задачи глобальной максимизации прибыли , называется локальным (частичным) рыночным равновесием фирмы (в случае долговременного промежутка). Термин «локальный применительно к рыночному равновесию здесь используется в связи с тем, что рассматривается единственная фирма, функционирующая на рынке ресурсов и на рынке готовой продукции.

График прибыли PR(x1, x2) в трехмерном пространстве, вообще говоря, достаточно сложен. Поэтому график прибыли представим схематически на плоскости 0Zy, где координатная ось 0Z изображает плоскость 0x1x2. Графики производственной функции F (Z), дохода фирмы p0 F(Z) и издержек pZ представлены на рис. 4.2, а; на рис. 4.2, Б изображен график прибыли PR(Z) = p0 F(Z) — Pz, который получен вычитанием из графика дохода фирмы p0 F(Z) графика издержек Pz. Точка (Z0, PR (Z0)) есть «макушка шапочки» графика функции PR (Z) = p0 F(Z) – Pz

Подставив вектор () в уравнения (4.1), получим тождества:

(4,2)

Которые можно переписать в векторной форме

(p = (p1,p2)), откуда следует, что градиент производственной функции Y=F(x1, x2) в точке () и вектор цен P коллинеарные, т. е. расположены на одной прямой (рис. 4.3).

Путем почленного деления первого тождества на второе получаем

(4,3)

Т. е. в точке () локального рыночного равновесия фирмы отношение предельной производительности первого ресурса к предельной производительности второго ресурса равно отношению рыночных цен этих ресурсов.

Проведем через точку ( )изокванту и изокосту, которые эту точку содержат. Уравнение изокванты имеет вид F(x1, x2) = Y0, где Y0 = F(). Уравнение изокосты имеет вид р1х1+р2х2=C0, где C0 = . Из равенства следует, что в точке () изокоста и изокванта касаются. Факт касания изокосты и изокванты в точке () локального рыночного равновесия — важная геометрическая характеристика локального рыночного равновесия.

Факт касания изокосты и изокванты можно обосновать с помощью элементарных рассуждений. Перепишем уравнение F(x1, x2) = Y0 выразив явно переменную x2 через переменную x1, т. е. в виде x2 = h(x1) (обратим внимание, что уравнения F(x1, x2) = Y0 и x2 = h(x1) формально разные, но они аналитически описывают одну и ту же изокванту /, см. рис. 4.3).

Из математического анализа известно, что

Для изокосты р1х1+р2х2=C0 имеем отношение . Из равенств (4.3) и (4.4) следует, что = , что означает, что касательная K к изокванте В точке () совпадает с изокостой, т. е. в точке () изокванта , обязательно касается изокосты К (см. рис. 4.3). Отметим, что, приступал к решению задачи максимизации прибыли, мы не имели конкретных изокванты и изокосты, которые касаются друг друга в точке (), ибо не имели самой этой точки. Касающиеся друг друга изокванта и изокоста появляются после того, как аналитически найдено локальное рыночное равновесие () путем решения системы уравнений (4.1).

Левая («четырехэтажная») дробь в (4.3) есть не что иное, как R12() — предельная норма замены первого ресурса вторым в точке ().

Равенство (4.3) выражает следующий фундаментальный факт теории фирмы: в точке локального рыночного равновесия () предельная норма замены R12() первого ресурса вторым равна отношению рыночных цен этих ресурсов. поскольку получаются в виде решения системы уравнений (4.1), постольку , есть функции цен (p0, p1, p2), т. е.

. (4.5)

Выражения (4.5) называются Функциями спроса на ресурсы (затраты) со стороны фирмы на рынках ресурсов. Их значения Выражают оптимальный выбор ресурсов как функции цены выпускаемой продукции и цен на ресурсы.

Подставив функции (4.5) в производственную функцию Y=F(x1, x2), получим выражение:

Которое называется Функцией предложения выпуска фирмы на рынке.

Функции спроса на ресурсы и функция предложения выпуска являются однородными нулевой степени по всем своим аргументам т. е. ; ; для любого числа . Свойство однородности означает, что одновременное изменение всех цен в одно и то же число раз (т. е. при изменении масштаба, но не структуры цен) не меняет И y0, что важно с содержательной точки зрения. С математической точки зрения однородность нулевой степени функции спроса и функции предложения является простым фактом, ибо максимизация прибыли сводится к системе уравнений (4.2), ибо на множитель можно сократить.

Вернемся к задаче глобальной максимизации прибыли фирмы:

.

Вполне возможно, что фирма имеет определенный лимит V на приобретение ресурсов, т. е. фирма может приобретать ресурсы, количества которых х1 и х2 должны удовлетворять ограничению:

В этом случае задача глобальной максимизация прибыли приобретает вид:

Что эквивалентно глобальной максимизации выпуска F(x1, x2) при наличии лимита на ресурсы р1х1 + р2х2 = V

Таким образом, получаем задачу глобальной максимизации выпуска фирмы при наличии лимита на ресурсы:

Выписанная задача (она анализируется в параграфе 4.4) представляет собой частный случай известной задачи рационального распределения ограниченных ресурсов.

Рассмотрим еще одну корректировку задачи глобальной максимизации прибыли фирмы.

Если фирма получает фиксированный заказ на свою продукцию в объеме , который фирма должна выполнить в течение временного периода, то задача глобальной максимизации прибыли фирмы приобретает вид:

Что эквивалентно глобальной минимизация издержек фирмы С(х1, х2) = р1х1 + р2х2 при наличии фиксированного заказа в объеме у единиц выпускаемой фирмой продукции.

Таким образом, получаем задачу глобальной минимизации издержек фирмы при фиксированном объеме выпускаемой ею продукции:

Выписанная задача анализируется в параграфе 4.5.

В случае, когда число факторов N > 2, условия первого порядка

(4.1) имеют следующий вид:

Как и в случае N = 2 выпуклость вверх функции F(х1,...,х2) эквивалента выпуклости вниз функции -F(х1,...,х2)

Для того, чтобы функция -F(х1,...,х2) была выпукла вниз (а функция F(х1,...,х2) выпукла вверх), необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы Гессе функции -F(х1,...,х2)

Т. е. миноры, построенные на элементах, расположенных на пересечении строк и столбцов этой матрицы с одинаковыми номерами, были неотрицательными при всех х1> 0,..., х2> 0.

Если последовательно повышающие порядок угловые миноры вышеприведенной матрицы Гессе строго положительны, т. е. при всех х1> 0,..., х2> 0

Производственная функция F (х) = F(х1,...,х2) строго выпукла вверх.

Для строго выпуклой вверх производственной функции У = F(х1,...,хn) условиям первого порядка удовлетворяет единственная точка глобального (искомого) максимума прибыли RP(х1,...,хn).

Как и при N = 2, точка (вектор) называется локальным рыночным равновесием фирмы (в случае долговременного промежутка).

Подставив точку в условия первого порядка, получим равенства:

Откуда следует, что

Т. е. градиент производственной функции У = F(х1,...,хn) в точке локального рыночного равновесия и вектор цен p=(p1,…,p2) коллинеарные, а это означает, что в пространстве ресурсов поверхность постоянного выпуска у0 =F (х0) (т. е. изокванта) и (N — 1)-мерная плоскость постоянных издержек (т. е. изокоста), содержащие точку , касаются.


Функции спроса на факторы (ресурсы) в случае долговременного промежутка - 5.0 out of 5 based on 1 vote