10 | 12 | 2016
Экономика
Литература

Комбинация ресурсов (факторов производства), максимизирующая объем выпуска при ограничении на затраты

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (2 Голоса)

Для случая долговременного промежутка (LR) сначала рассмотрим задачу глобальной максимизации объема выпускаемой продукции при наличии лимита на ресурсы (при ограничении затрат на приобретение ресурсов (факторов)) в следующем виде:

(4,7)

При условии, что

Величина V не обязательно равна величине С0 (см. параграф 4.2). Решение этой задачи математического программирования допускает наглядную геометрическую интерпретации (рис. 4.5).

Ограничениям (4.8) и (4.9) соответствует треугольник 0В1В2 плоскости 0х1х2. Максимизация функции (4.7) геометрическая соответствует тому, что мы переходим на все более «северо-восточные» изокванты, пока они имеют еще общие точки с треугольником 0В1В2 (прямая В1В2 имеет уравнение р1х1 + р2х2 =V). Изокванты гладкие линии, выпуклые к точке 0 (а это так, ибо F(х1, х2) — не произвольная функция двух переменных, а производственная функция, т. е. функция, удовлетворяющая определенным требованиям гладкости и в выпуклости), поэтому решению задачи (4.7)—(4.9) соответствует изокванта , которая касается гипотенузы (изокосты) В1В2 в точке . Любая изокванта , расположенная «северо-восточнее» этой изокванты , содержащей точку , не подходит, ибо не имеет общих точек с треугольником 0В1В2. Координаты (V) и (V) точки дают решение задачи (4.7)—(4.9), ибо Y = F(х1, х2) < (линия , расположена «северо-восточнее» линии (Y = F(х1, х2)).

В связи с тем, что это решение ((V), (V)) обращает ограничение (4.8) в равенство р1 + р2 = V вместо задачи (4.7)—(4.9) можно рассмотреть более простую задачу на условный экстремум

(4,7)

При наличии ограничения

Заданного в виде равенства. (Эта задача была сформулирована выше в параграфе 4.2).

Задачи (4.7)—(4.9) и (4.7), (4.10) разные, но решение ((V), (V)) у них одно и то же. Поскольку сумма р1х1 + р2х2 равна издержкам производства, постольку целесообразно заменить V на С и формально перейти к задаче максимизации объема выпускаемой продукции для случая дОлговременного промежутка (LR) при Фиксированных издержках производства С (величина С играет роль параметра и не обязательно равна величине С0 (см. параграф 4.2):

(4,7)

При условии, что

Геометрическое решение задачи (4.7), (4.11) также наглядно очевидно (рис. 4.6): следует переходить на все более «северо-восточные» изокванты LY, (У = F(х1, х2)) до тех пор, пока они продолжают иметь общие точки (х1, х2) с изокостой, соответствующей фиксированным издержкам производства С. Ясно, что решением задачи максимизации выпуска будет Точка ((С), (С)) касания последней из допустимых изоквант LY и фиксированной изокосты р1х1 + р2х2 = С. Эта точка касания зависит от величины издержек С Поэтому и написано ((С), (С)). Если издержки С изменятся, то изменится, вообще говоря, и точка ((С), (С)). Множество точек ((С), (С)), соответствующих различным значениям С, образуют L (см. рис. 4.6), которая называется линией Долговременного развития фирмы. Точка () локального рыночного равновесия фирмы (см. параграф 4.2) обязательно линии L.

Решим задачу (4.7), (4.11) формально с помощью функции Лагранжа

.

Для функции Лагранжа выписываем условия первого порядка, т. е. систему уравнений

Или в развернутом виде

. (4.12)

Критическая точка ((С), (С),(С)) Функции Лагранжа, удовлетворяющая системе (4.12) и взятая без последней координаты (множителя Лагранжа) (С), т. е. точка ((С), (С)) есть точка возможного условного локального максимума функции, У = F(х1, х2))) при наличии ограничения р1х1 + р2х2 = С. Если У = F(х1, х2) — производственная функция т. е. функция, удовлетворяющая условиям гладкости и выпуклости, то выполняется достаточные условия второго порядка локального условного максимума функции (4.7) при наличии ограничения (4.11). При этом точка ((С), (С)) условного локального максимума является точкой условного глобального максимума функции (4.7) при наличия ограничения (4.11). Если У = F(х1, х2), то (С) > 0, (С) > 0, (С) > 0.

Подставив точку (С) > 0, (С) > 0, (С) в первые два равенства системы (4.12), получим два тождества:

Откуда следует коллинеарность градиента GRad F ((С), (С)) и вектора цен p=(р1,р2):

Если положить , то дня задачи глобальной максимизации прибыли

Условия первого порядка (4.1) приобретут вид:

Откуда, принимая во внимание равенство , эти условия первого порядка следует переписать так:

Этой системе уравнений удовлетворяет и

((4.13) и (4.14)). Следовательно, решение , представляет собой локальное рыночное равновесие фирмы при , те. решение ((С), (С)) задачи (4.7), (4.11) условной глобальной максимизации совпадает с решением () задачи глобальной максимизации прибыли, если цена p0 выпускаемой фирмой продукции равна .

Таким образом, предложена естественная экономическая интерпретация множителя Лагранжа (С).

В параграфе 4.2 в точке локального рыночного равновесия () фирмы были определены издержки . Если в ограничении (4.11) положить C = C0, то очевидно (C0) =, (С0) = , а также т. е. величина, обратная множителю Лагранжа (С), равна рыночной цене р0 единицы выпускаемой фирмой продукции. Подставив (С), (С) в выражение У = F(х1, х2), получим, что

(4,15)

Т. е. получим, что максимальный выпуск У = F(С) фирмы по существу есть функция издержек С. Выражение (4.15) является значением за дачи (4.7), (4.11).

Так построенная функция = F(С) соответствует случаю долговременного промежутка.

Имея функцию = F(С), можно выписать выражение для прибыли в терминах издержек PR(C)=P0F(C) — C (сравнить с выражением для прибыли фирмы в терминах Затрачиваемых (используемых) ресурсов, см. параграф 4.2).

Таким образом, задача максимизации прибыли фирмы в случае долговременного промежутка может иметь три постановки:

• в терминах объемов х1 и х2 затрачиваемых (используемых) ресурсов:

• в терминах объема у выпускаемой фирмой продукции:

• в терминах издержек С фирмы:

Строго говоря, координаты (С) и (С) являются функциями всех параметров Р1,Р2,С задачи (4.7), (4.11), т. е. , . Эти функции называются функциями условного спроса (по Маршаллу) со стороны фирмы на ресурсы. Фирма предъявляет спрос на каждый ресурс на рынке этого ресурса. Спрос называется условным, потому что есть условие р1х1 + р2х2 = С, которое появляется в связи с лимитом на ресурсы. Отметим также, что

Максимальный выпуск F(x1, x2) фирмы имеет вид:

Выписанная функция представляет собой условное предложение фирмой своего выпуска на рынке выпускаемого ею продукта.

Функции условного спроса (по Маршаллу) , и функции условного предложения фирмы однородны нулевой степени, т. е. для любого числа Справедливы равенства:

С одной стороны, задача глобальной максимизации (4.7), (4.11) имеет решение , задача глобальной максимизации (4.7) при наличии ограничения имеет решение . С другой стороны, эти две задачи глобальной максимизации эквивалентны (сократив ограничение на , получим ограничение (4.11)), поэтому .

Равенство также очевидно, ибо

Задача максимизации объема выпускаемой фирмой продукции при Фиксированных издержках C для случая Краткосрочного промежутка (), когда лимитирован объем первого ресурса, имеет вид:

(4,16)

При условии, что

(4,17)

Ограничимся наглядным геометрическим решением (рис. 4.8) задачи (4.16), (4.17).

Перемещаемся по изоквантам на «северо-восток» до того момента, пока изокванта не пройдет через точку , которая и есть решение задачи (4.16), (4.17). От этой изокванты далее на «северо-восток» идти нельзя, ибо в точках пересечения новых изоквант и фиксированной изокосты имеет место неравенство

Если бы условия х1 = не было, то решением задачи максимизации объема выпускаемой продукции была бы точка (,), которая соответствует случаю долговременного промежутка. Очевидно, Г( х1 (С ), х2 (С)) >/ ( , 2(С)), ибо изокванта, проходящая через точку (,> F(,)) расположена «северо-восточнее» изокванты, проходящей через точку F(,).

Получен важный Результат теории фирмы: при одних и тех же издержках C объем выпускаемой фирмой продукции в случае Долговременного промежутка больше (точнее не меньше) объема выпускаемой фирмой продукции в случае краткосрочного промежутка.

Эти объемы сравняются, если издержки производства С будут такими, что . Вертикальная прямая называется Линией краткосрочного развитая фирмы (см. рис. 4.8).

Для долговременного промежутка кратко рассмотрим общий случай N>2.

Задача (4.7), (4.11) глобальной максимизации выпуска фирмы при лимите на ресурсы в общем случае имеет вид:

(4,18)

При наличии ограничения

(4,19)

Для функции Лагранжа

(4,20)

Задачи (4.18), (4.19) на условный (локальный) экстремум условия первого порядка имеют вид:

Или в развернутом виде:

Для производственной функции, удовлетворяющей Условиям гладкости и выпуклости, — критическая точка функции (4.18) при наличии ограничения (4.19).

Критическая точка функции Лагранжа является решением системы уравнений (4.21), поэтому при подстановке ее в эти уравнения она обращает их в тождества:

Которые в компактной векторной форме имеют вид:

Откуда следует, что в точке изокванта максимального выпуска и изокоста ((п —1) - мерная плоскость постоянных издержек) касаются.

Функции являются функциями условного спроса (по Маршаллу) со стороны фирмы на рынках ресурсов. Функция есть функция предложения фирмы на рынке выпускаемой фирмой продукции.

Как и в случае N = 2 все функции , являются однородными нулевой степени по всем переменным .

Как и в случае N = 2 множитель Лагранжа является скорее относительно малой величиной («моськой»).


Комбинация ресурсов (факторов производства), максимизирующая объем выпуска при ограничении на затраты - 5.0 out of 5 based on 2 votes