08 | 12 | 2016
Экономика
Литература

Предельные (маржинальные) свойства максимального выпуска и минимальных издержек

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 Голос)

Справедливы следующие важные равенства:

(4.33)

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Здесь — максимальное значение целевой функции задачи на условный экстремум (4.7), (4.11) (см. параграф 4.1), , — минимальное значение целевой функции задачи на условный экстремум (4.22) и (4.23) (см. параграф 4.5).

Равенства (4.34) называются, тождествами Роя, равенства (4.36) (которые также являются тождествами) представляют собой Лемму Шепарда. Левая часть равенства (4.33) есть предельный выпуск фирмы по лимиту. Из равенства (4.33) следует, что он равен множителю Лагранжа.

Проанализируем и докажем равенство (4.33).

Справедливо приближенное равенство:

(4.37)

Если величина относительно мала.

Из (4.33) и (4.37) следует, что

Откуда получаем

(4.38)

Приближенное равенство (4.38) означает, что если лимит на ресурсы Увеличится на одну единицу (, которая относительно мала), то максимальный выпуск фирмы Увеличится на величину, приближенно равную множителю Лагранжа, что естественно, ибо с ростом величины С фирма увеличит объем приобретаемых на рынке ресурсов и, следовательно, увеличит свой максимальный выпуск.

Следовательно, множитель Лагранжа позволяет (приближенно) оценить новый условный максимальный выпуск фирмы, если лимит C на ресурсы увеличился на относительно малую величину :

(4.39)

Оценка тем точнее, чем меньше АС.

Особо отметим, что нет необходимости решать новую задачу глобальной максимизации выпуска фирмы при новом лимите на ресурсы, ибо новый максимальный выпуск дает приближенная формула (4.39).

В связи с тем, что множитель Лагранжа скорее мал, из приближенного равенства (4.38) следует, что для значительного увеличения максимального выпуска требуется значительно увеличить (прирост лимита на ресурсы).

Докажем равенство (4.33).

Конфигурация ресурсов при подстановке в ограничение обращает его в тождество , т. е.

(4.40)

В тождествах (но не в равенствах!) можно переходить к производным (к частным производным):

(4.41)

Справедливо приближенное равенство:

Т. е. получили равенство (4.33).

В равенстве, отмеченном символом «*» (звездочка) были использованы формулы:

(см. (4.12) при ).

Проанализируем и докажем первое равенство (4.34). Справедливо приближенное равенство:

(4.42)

Если величина относительно мала.

Из (4.34) и (4.42) следует, что

Откуда получаем приближенное равенство:

Приближенное равенство (4.43) означает, что если цена единицы первого ресурса увеличится на одну единицу ( и эта единица относительно мала), то максимальный выпуск фирмы уменьшится на величину, приближенно равную , что естественно, ибо при повышении цены на первый ресурс фирма его приобретет в меньшем объеме, что, в свою очередь, уменьшит ее максимальный выпуск.

Следовательно, произведение . позволяет (приближенно) оценить новый максимальный выпуск фирмы , если цена единицы первою ресурса увеличится на относительно малую величину :

Оценка тем точнее, чем меньше .

Аналогично предыдущему случаю нет необходимости решать новую задачу глобальной максимизации выпуска при новой цене на единицу первого ресурса, ибо новый глобальный максимальный условный выпуск дает (приближенно) формула (4.44).

Докажем первое равенство из (4.34).

Найдем частные производные по всех слагаемых тождества (4.40):

Откуда получаем

(4.45)

На основании теоремы о частных производных сложной функции имеем:

Ибо

Таким образом, первое равенство (4.34) доказано. Второе равенство (4.34) доказывается аналогично.

Равенство (*) аналогично равенству (*) в доказательстве равенства (4.33).

Равенства (4.35) и (4.36) анализируются и доказываются аналогично. Только в этом случае используются равенства (4.24) при .


Предельные (маржинальные) свойства максимального выпуска и минимальных издержек - 5.0 out of 5 based on 1 vote