06 | 12 | 2016
Экономика
Литература

Отступление от классических предпосылок

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 Голос)

В этом параграфе рассматриваются следствия и возможные действия при различных вариантах отступлений от классических предпосылок.

1.6.1. Ошибка спецификации: переменные, не включенные в модель

До сих пор мы проводили анализ, предполагая, что исходная модель правильно специфицирована и удовлетворяет классическим допущениям. Представим себе, однако, что в модели отсутствует некоторое количество важных объясняющих переменных, а на самом деле истинная модель должна иметь вид:

, (1.70)

Где Z — - матрица наблюдений; R-мерный вектор.

Таким образом, вместо уравнения (1.70) мы имеем дело с ошибочно специфицированной моделью , в которой пропущены R объясняющих переменных (omitted variables). Вектор остатков этой регрессии может быть записан в виде:

,

Где .

Подставляя истинное выражение для Y и пользуясь очевидным равенством , получим и, следовательно,

. (1.71)

Последнее означает, что вектор остатков содержит пропущенные переменные Z и имеет математическое ожидание, равное вектору остатков регрессии по Х. Это позволяет использовать остатки при тестировании на ошибки спефикации.

Выясним, являются ли МНК-оценки регрессии несмещенными. Подставляя выражение (1.70) в формулу для оценивания и используя равенство , получим

.

Следовательно, наличие пропущенных переменных приводит, вообще говоря, к смещенным оценкам. Однако, если Х и Z ортогональны, т. е. , то смещения не будет.

1.6.2. Ковариационная матрица неклассического вида

В параграфе 1.5 перечислялись классические условия, накладываемые на случайные отклонения регрессионной модели — наличие нулевых средних, одинаковых дисперсий и отсутствие коррелированности между разными случайными отклонениями:

Нарушение предпосылки о нулевых средних не влечет за собой больших проблем: оно легко преодолевается включением в уравнение регрессии свободного члена. Нарушение свойства гомоскедастичности случайных отклонений, т. е. условия диагональности ковариационной матрицы случайных отклонений и совпадения всех диагональных элементов, ведет к значительным последствиям.

Каждый диагональный элемент ковариационной матрицы представляет собой дисперсию очередного выборочного наблюдения. Если эти дисперсии разные, то речь идет о свойстве гетероскедастичности случайных отклонений (в противоположность свойству гомоскедастичности, при котором дисперсии одинаковы). Это означает, что компоненты вектора случайных отклонений могут иметь разные распределения.

Каждый недиагональный элемент ковариационной матрицы является ковариацией между двумя регрессионными отклонениями, соответствующими двум разным выборочным наблюдениям. (Например, элемент матрицы, стоящий в третьей строке и втором столбе это ковариация отклонений, относящихся к третьему и второму наблюдениям.) Если все недиагональные элементы равны нулю, то говорят, что отклонения Некоррелированные, в противном случае имеет место Сериальная Коррелированность регрессионных отклонений.

Если вектор отклонений обладает свойством гетероскедастичности и/или сериальной коррелированности, то ковариационная матрица не будет иметь классического «скалярного» вида:

. (1.72)

Так как доказательство несмещенность оценок, полученных обычным МНК, строится только на свойствах моментов первого порядка, то и в этом случае (несмотря на нарушения классических условий) мы также получим несмешенные и состоятельные оценки параметров модели. Однако распределение вектора обычных МНК-оценок будет другим, в частности, ковариационная матрица оценок будет иметь вид:

(1.73)

Т. е. будет отличаться от аналогичной матрицы, полученной ранее в классическом случае,

Существуют два возможных способа разрешения этой проблемы. Первый способ — преобразовать модель таким образом, чтобы ковариационная матрица остатков стала <скалярной и затем применять МНК. Это — так называемый обобщенный МНК (ОМНК). Заметим, что этот метод предполагает знание Структуры ковариационной матрицы . Второй способ — оценить обычным МНК, так как полученные оценки будут несмещенными и состоятельными, но использовать состоятельную оценку матрицы для получения (с помощью формулы (1.73)) состоятельной оценки ковариационной матрицы обычных МНК-оценок. Так как информация о структуре во втором подходе не используется, то будут получены менее эффективные оценки, чем при первом способе. В то же время второй способ представляется более удобным, поскольку состоятельное оценивание матрицы достигается вне зависимости от знания формы гетероскедастичности или сериальной коррелированности.

1.6.3. Обобщенный метод наименьших квадратов

Рассмотрим вариант обобщенной модели линейной регрессии

, (1.74)

В котором предполагается, что и неизвестны, а известна. В рамках модели (1.74) ковариационная матрица зависит только от одного неизвестного числового параметра , поэтому реализация ОМНК (оценка ковариационной матрицы отклонений) сведется к оцениванию .

Пусть — положительно определенная матрица, тогда, как известно из курса линейной алгебры, существует невырожденная матрица Р, такая что

,

Откуда следует, что

.

Умножил (1.74) на P, получим:

,

Или

(1.75)

Где .

Вычислим ковариационную матрицу остатков и заметим, что она имеет классический «скалярный вид»:

.

Тогда, в соответствии с теоремой Гаусса—Маркова, применив к (1.75) обычный МНК, получим наилучшие линейные, несмещенные оценки:

(1.76)

Интуитивно понятно, что обобщенный МНК дает более эффективные оценки, чем обычный МНК, потому что он в определенном смысле «взвешивает» данные. Например, в случае гетероскедастичвых и сериальное некоррелированных регрессионных отклонений, наблюдения, соответствующие большим значениям дисперсии отклонений, будут вносить меньший вклад в формирование оценок (получат меньший вес), чем наблюдения, соответствующие меньшим дисперсиям отклонений.

Заметим, что для реализации ОМНК требуется знание матрицы . Вообще говоря, исследователь должен сначала оценить матрицу , а потом использовать эту оценку в дальнейшем анализе, например при вычислении соотношений типа (1.76). Таким образом, мы приходим к Практически реализованной или Доступной ОМНК-оценке. Способ оценивания матрицы будет зависеть от того, предполагает ли исследователь наличие гетероскедастичности, автокоррелированности или их сочетания.

1.6.4. Гетероскедастичность

Рассмотрим снова кейнсианскую функцию потребления, в которой считается, что текущее потребление , зависит от текущего дохода :

. (1.77)

При этом разумно предположить, что дисперсия случайных отклонений растет по мере роста дохода. действительно, в соответствии с общей теорией потребления, индивидуум, имеющий больший доход, имеет и большие возможности разнообразить свое потребление. Предположим, к примеру, что дисперсия случайного отклонения пропорциональна квадрату дохода:

(1.78)

Разделим (1.77) на :

, (1.79)

Где

Дисперсия случайного отклонения в новом уравнении будет равна

.

Т. е. выполняется свойство гомоскедастичности. Тогда мы можем применить МНК к уравнению (1.79) и получить оптимальные оценки.

Обобщал все вышесказанное, запишем уравнение в матричном виде:

(1.81)

Заметим, что — «скалярная» матрица, таким образом, ОМНК-оценки (т. е. МНК-оценки, полученные из (1.79)) будут иметь требуемые свойства.

Более общий метод, предложенный Уайтом (1980 г.), дает несмешанную оценку вектора , основанную на обычном МНК, и оценку матрицы в виде диагональной матрицы с квадратами регрессионных остатков на диагонали:

(1.81, а)

Уайт доказал, что

Значит, формула

Может быть использована для получения состоятельной оценки ковариационной матрицы МНК-оценок. В современных пакетах программ, таких как EViews, предусмотрено вычисление состоятельных стандартных ошибок для МНК-оценок коэффициентов на основе приведенной формулы.

1.6.5. Автокорреляция

Для примера рассмотрим временной ряд с автокорреляцией остатков первого порядка:

; (1.82)

, (1.83)

Где , — «белый шум», причем для того, чтобы гарантировать стационарность ряда отклонений , будем считать, что :

; (1.84, а)

(1.84, B)

Для . (1.84, с)

Если записать уравнение (1.82) для момента времени , умножить его на и затем полученное выражение вычесть из уравнения (1.82), то получим

Где

Поскольку , является белым шумом, применение МНК к преобразованному уравнению даст оптимальные оценки.

Для того чтобы показать эквивалентность данной процедуры оценивания и обсужденной ранее процедуры ОМНК, нам понадобится найти ковариационную матрицу вектора авторегрессионных случайных отклонений.

Мы уже обсуждали свойства AR(1) модели. В частности, уравнение (1.83) может быть переписано в виде:

. (1.85)

Подставляя (1.85) в (1.82), мы видим, что , подвержено влиянию серии остаточных членов с геометрически убывающими весами. Таким образом, процесс генерации ряда У — динамический (факт, который не является очевидным в (1.82)).

Из (1.85) мы имеем:

, (1.86)

Что следует из предположения, что V — процесс белого шума (1.84, а). Таким образом, предположение о том, что случайные отклонения , имеют нулевую среднюю, оказывается справедливым.

Теперь построим ковариационную матрицу для вектора . Используя (1.84, B) вычислим:

(1.87)

Отметим, что смешанные произведения в (1.87)

Исчезают, поскольку V — некоррелированный процесс (1.84, с).

С помощью аналогичной процедуры, выводим ковариацию между двумя отклонениями, отстоящими на J периодов:

.

Таким образом, искомая ковариационная матрица может быть записана в виде:

(1.88)

Теперь необходимо найти матрицу Р, такую что Можно показать, что эта матрица равна

Если (1.82) записать в матричной форме

И затем умножить на Р слева, то получим уравнение

,

Где

(1.90, а)

(1.90, b)

(1.90, с)

Нетрудно показать, что —. имеет дисперсию и не коррелирует с для . Так что

Таким образом, применяя обычный МНК к преобразованным данным. т. е. ОМИК к исходным, мы реализуем оптимальный метод оценивания. Этот метод отличается от интуитивной процедуры корректировки AR(1)-отклонений только применительно к первому наблюдению.

На практике константа , как правило, неизвестна. Следователь но неизвестна и матрица , поэтому этот параметр должен быть оценен. Существует несколько процедур, позволяющих произвести такое оценивание. Во-первых, это так называемая процедура Хилдрета-Ли (Hildereth-Liu), в соответствии с которой производится поиск по достаточно частой сетке значений из отрезка [-1, 1]. Для каждого значения подсчитывается оценка ОМНК и сумма квадратов отклонений . Выбирается такое значение , для которого сумма квадратов отклонений минимальна.

Другой алгоритм предложили Кохрейн и Оркатт (1994 г.).

Итерационная процедура Кохрейна—Оркатта начинается с МНК-оценивания параметров модели (1.82). Полученные несмещенные и состоятельные оценки позволяют получить вектор остатков. Результирующие оценки могут теперь быть использованы в качестве «наблюдений» в регрессионной модели (1.83) и применение к ней МНК даст оценку для . Это позволит найти ОМНК-оценки и затем получить более эффективные оценки для . Далее МНК применяется к новому набору остатков и находится более эффективная оценка , которая снова используется для построения ОМНК-оценки, и т. д. Процедура прекращается, когда очередные оценки оказываются практически неразличимыми.

1.6.6. Стохастические регрессоры

Второе классическое предположение, которое мы указали в параграфе 1.5, предполагало, что регрессоры нестохастичны и потому независимы от ошибок:

.

Это предположение было необходимо для получения свойства несмещенности МН К-оценок. Однако предположение о неслучайности (детерминированности) регрессоров, т. е. постоянстве их значений в повторяющихся выборках, может оказаться слишком ограничительным. Например, в правой части модели в качестве регрессора может выступать лаговая зависимая переменная, отражая определенную степень инерционности в ее поведении. Вообще говоря, мало убедительны утверждения, что одни экономические показатели, такие, как потребление, ведут себя во времени стохастично, тогда как другие, такие, как доход, — нестохастичны. Более того, могут существовать случайные эффекты при измерении регрессоров, или рассматриваемое нами уравнение может, как часть входить в какую-то систему одновременных уравнений, что влечет за собой наличие стохастической обратной связи между переменными.

Если регрессоры являются случайными (недетерминированными), но выполняется предположение об их независимости со случайными ошибками, то можно показать, что большинство привычных свойств для МНК-оценок сохраняется. Свойства М1-IК-оценок регрессоров, построенных по малым выборкам, в предположении стохастичность регрессоров не могут быть прежними, хотя в значительной мере остаются таковыми, если имеет место одномоментная некоррелированность (contemporaneously uncorrelation) регрессоров и регрессионных отклонений (т. е. нулевая корреляция между указанными величинами, рассматриваемыми в одни и те же моменты времени).

Рассмотрим общую линейную модель, в которой отсутствует предположение о нестохастичности матрицы плана Х:

. (1.91)

Пусть ковариационная матрица регрессионных отклонений имеет классический вид. Если выполняются следующие условия:

; (1.92, а)

, (1.92, b)

Где Е — невырожденная матрица, то МНК-оценка будет состоятельной:

Предположения (1.92) заменяют второе классическое условие. Предположение (1.92, а) будет выполняться, если матрица Х состоит из реализаций стационарного многомерного стохастического процесса с невырожденной одномоментной ковариационной матрицей. Можно также показать, что стандартные формулы для оценки дисперсии регрессионных отклонений и ковариационной матрицы векторной МНК-оценки также будут состоятельны.

1.6.7. Ошибки измерения переменных

Причиной стохастичности регрессоров могут оказаться ошибки в измерениях переменных. Однако в этом случае МНК-оценки оказываются несостоятельными.

Пусть, например, известно, что и связаны точной линейной связью:

(1.93)

Но вместо непосредственного наблюдения Х и мы наблюдаем переменные и , которые могут быть «загрязнены» случайными ошибками измерения и :

(1.94, а)

(1.94, B)

Предположение об отсутствии автокорреляции в ошибках измерения не всегда разумно. Например, если Х — предложение денег, то имеет смысл предположить, что ошибки измерения подчиняются модели скользящей средней первого порядка:

(1.95)

Где — белый шум.

Такая модель описывает механизм формирования ошибок измерения, в котором ошибка текущего периода имеет тенденцию компенсироваться на долю в следующем периоде.

Подставляя (1.93) в (1.94), имеем:

(1.96,а)

Где

(1.96, b)

Если допустить, что ошибки измерения некоррелированные, то ковариационная матрица для будет иметь вид:

, (1.97)

Где и дисперсии и соответственно.

Из (1.97) ясно, что имеет классическую («скалярную») ковариационную матрицу.

Из уравнений (1.96, а) и (1.96, B) ясно, что остатки в (1.96, а) коррелированны с регрессорами Х, что нарушает одно из классических предположений, обсужденных нами в разделе 1.5 и необходимых дал получения свойства несмещенности МНК-оценок. Более того, МНК-оценки не являются более состоятельными (хотя условие (1.92, а) может выполняться, но условие (1.92, B) будет нарушено):

Таким образом,

1.6.8. Одновременные уравнения и инструментальные переменные

Корреляция между объясняющими переменными и регрессионными отклонениями может возникать при наличии системы одновременных уравнений. В системе таких уравнений существует одномоментная обратная связь между эндогенными переменными системы. МИК по каждому отдельному уравнению, таким образом, дает смещенные и несостоятельные оценки параметров.

Можно реализовать одновременное оценивание всех уравнений модели, однако часто на практике нужно оценить лишь отдельное структурное уравнение. Тем не менее, следует понимать, что рассматриваемое уравнение может являться частью более широкой одновременной системы и тогда МНК неприменим. Состоятельные оценки могут быть получены методом инструментальных переменных (ИП) по отдельным уравнениям, хотя не всегда ясно, как выбрать определенный набор инструментальных переменных, и будут ли они независимы от остатков. Метод инструментальных переменных — это процедура оценки отдельного уравнения, которая не анализирует информацию, содержащуюся в остальных уравнениях системы.

Метод инструментальных переменных (ИП) основан на следующем подходе: выбирается набор переменных (инструментов), которые удовлетворяют классическим предпосылкам, и эти переменные используются для построения <заменителей для эндогенной переменной.

ИП-оценивание проводится следующим образом. Пусть имеется линейная регрессионная модель, в которой набор регрессоров состоит из двух частей: Первая (Х1,) состоит из K1 переменных, асимптотически некоррелированных с ошибками U; вторая (Х2) состоит из K2 переменных, коррелированных с ошибками U. Таким образом,

, (1.98)

Где

; (1.99, а)

. (1.99, b)

Предположим, что существует набор W1 из K2 Переменных, называемых инструментальными, которые обладают следующими свойствами:

; (1.100)

.

Отсюда W1 некоррелированно в пределе с ошибками U и существует ненулевая корреляция между W1 и Х2 (с матрицей асимптотически постоянных моментов W1 Х2).

Полная матрица инструментальных переменных состоит из двух подматриц

(1.101)

Где X1, — собственные инструментальные переменные; W1 замещают X2 Умножим (1.98) на и возьмем предел по вероятности:

(1.102)

Рассмотрим выборочные моменты в качестве оценок соответствующих теоретических величин (существование которых мы здесь предполагаем); используя уравнения (1.100), легко убедиться, что оценка инструментальных переменных имеет вид

(1.103)

Отметим, что, если все переменные Х удовлетворяют классическим предпосылкам, тогда W совпадает с X и это уже обычная МНК-оценка. Асимптотическая ковариационная матрица ИП-оценки (которую мы обозначим ) может быть представлена в следующем виде. Подставляя (1.98) в (1.104), получим

. (1.104)

Имеем:

, (1.105)

Оценка — состоятельна (см. (1.105)), используя (1.99) (1.100) и (1.101), остатки

(1.106)

Могут быть использованы для получения состоятельной оценки :

. (1.107)

Отметим, что Х, а не W используется в (1.106), и что (1.105) превратится в формулу для МНК, когда Х и W совпадают.

Теперь в иллюстративных целях обратимся к простейшей системе одновременных уравнений с двумя уравнениями:

(1.108, а)

, (1.108, Ь)

Где

Чтобы избежать проблем, возникающих в связи с одновременностью эндогенных переменных , ;. мы предполагаем, что случайные отклонения в обоих уравнениях являются процессами белого шума и что между отклонениями разных уравнений нет одномоментной связи.

Приведенная форма уравнений системы имеет вид:

; (1.109, а)

, (1.109, b)

Где

Важно заметить, что в (1.109, а) и (1.109, B) переменные , зависят от линейной комбинации структурных отклонений . Это происходит благодаря одновременности системы и, таким образом, классические предпосылки из параграфа 1.5 не выполняются, так же как и условия (1.92, B), откуда следует, что МНК-оценки будут смещенными и несостоятельными для построения состоятельных оценок коэффициентов системы одновременных уравнений используется метод инструментальных переменных.

В данной главе мы рассмотрели стандартные эконометрические результаты МНК-оценивания отдельного уравнения, показали, что при определенном наборе предпосылок М Н К позволяет получить оптимальные оценки, а также, что использование данной техники в случае нарушения выдвинутых предпосылок не дает оптимальных результатов.


Отступление от классических предпосылок - 5.0 out of 5 based on 1 vote