11 | 12 | 2016
Экономика
Литература

Моделирование экономического риска и концепция теории игр и статистических решений

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.50 (1 Голос)

В статистической игре имеется только один игрок, сознательно выбирающий свои стратегии, причем исход игры зависит и от его состояния «природы». В широком смысле под «природой» понимают совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений. Задачей статистика (игрока) или ЛПР является принятие наилучшего управленческого решения в каждой конкретной ситуации. Статистические игры представляют собой основную модель теории принятия решений в условиях неопределенности.

«Правила поведения» статистика – критерий выбора оптимальной стратегии ЛПР –формируются на основе платежной матрицы статистической игры

платежная матрица статистической игры,

Где статистик принимает одно из M различных возможных решений, называемых чистыми стратегиями и соответствующих строкам платежной матрицы, «природа» может оказаться в одном из N различных возможных состояний соответствующих столбцам платежной матрицы. Элементы платежной матрицы Hij статистической игры представляют собой численную оценку эффективности выбора статистиком своей I-ой чистой стратегии, когда «природа» оказалась в своем J-м состоянии, где . Элемент часто называют выигрышем статистика, если он использует I-ю стратегию при J-м состоянии «природы».

ЛПР может пользоваться как чистыми, так и смешанными стратегиями. Решение статистической игры несколько отличается от решений обычной матричной игры, где оба игрока ведут игру сознательно. Отличие состоит, прежде всего, в правилах упрощения игры. Выявление и исключение из рассмотрения дублирующих и доминируемых стратегий производится только для стратегий статистика.

Итак, ситуация принятых решений характеризуется платежной матрицей H, называемой еще функционалом оценивания. Будем различать позитивно заданный функционал оценивания H = H+ = (Hij+), когда ЛПР стремится максимизировать свой выигрыш (например, Hij+ - прибыль), и негативно заданный функционал оценивания H = H- = (Hij-), когда ЛПР стремится минимизировать свой выигрыш (например Hij- – затраты).

Всегда при решении статистической игры используют матрицу рисков,

матрица рисков,

Элементы которой находят по одной из двух формул:

1)  Если H = H+, то Rij =BJ - Hij, где ;

2)  если H = H-, то Rij =Hij - Bj, где .

Очевидно, сама матрица рисков является негативно заданным функционалом оценивания R = R- = (Rij-)

Классификация информационных ситуаций

Под информационной ситуацией I понимают определенный уровень градации неопределенности выбора «природой» своих состояний в момент принятия решения.

Кратко охарактеризуем основные шесть уровней неопределенности состояний «природы».

Первая информационная ситуация I1, характеризуется заданным распределением априорных вероятно тех различных состояний «природы». Это значит, что известны компоненты вектора

QJ - вероятность того, что «природа» окажется в своем J - м состоянии.

Вторая информационная ситуация I2 Характеризуется заданным распределением априорных вероятностей различных состояний «природы» с неизвестными параметрами, вероятности QJ того, что «природа» окажется в своем J-м состоянии. Определяются значениями неизвестных параметров при обязательном выполнении соотношений

Третья информационная ситуация I3 характеризуется заданной системой линейных отношений между компонентами QJ распределения априорных вероятностей различных состояний «природы», среди которых обязательно присутствуют требования .

Четвертая информационная ситуация I4 Характеризуется неизвестным распределением априорных вероятностей различных состояний «природы».

Пятая информационная ситуация I5 характеризуется антагонистическими интересами ЛПР и «природы». Образно говоря, предполагается, что «природа» является «злонамеренным» противником. В этом случае статистическая игра превращается, по сути, в парную матричную игру с нулевой суммой.

Шестая информационная ситуация I6 характеризуется как промежуточная между I4 и I5 при выборе «природой» своих состояний, когда одновременно с наличием некоторой информации о распределении априорных вероятностей имеет место антагонистическое поведение «природы».

При выборе решений (оптимальной стратегии I0 или множества эквивалентных решений) могут использоваться несколько различных критериев. Так, например для информационной ситуации I1 важнейшими являются такие критерии: Байеса, минимума дисперсии функционала оценивания максимальной вероятности, модальный и другие: для информационных ситуаций I2, I3, I4 - критерий Джейнса; для информационной ситуации I4 - критерий Бернулли-Севиджа; для информационной ситуации I5 – критерий Вальда, Сэвиджа и другие; для информационной ситуации I6 - критерии Гурвина, Ходжеса-Лемана, Менчеса и другие.

Критерии выбора решений

Выбор критерия оценки вариантов решения статистической игры – это стратегическое решение, от которого зависит исход многих управленческих проблем и конечный результат.

В первой информационной ситуации при заданном распределении вероятностей чаще всего применяют один из двух следующих критериев.

1) Критерий Байеса, согласно которому оптимизируют математическое ожидание функционала оценивания: для каждой стратегии ЛПР вычисляют средний выигрыш.

(9)

Называемый байесовским значением функционала для І-й и стратегии ЛПР (І-й строка платежной матрицы). Введем обозначение І0 - номер оптимальной стратегии. Оптимальной стратегией І0 в соответствии с критерием Байеса считается та, для которой выполняется соотношение:

А) , если Н = Н+

Б) , если Н = Н-

Где Ві называют байесовким риском.

2) Критерий минимума дисперсии функционала оценивания, который имеет несколько модификаций. Для каждой стратегии ЛПР вычисляют из величин

А) ; (10)

Б) ;

В) , если Н = Н+;

Г) , если Н = Н-,

Где математические ожидания Bj определяют по формуле (9).

Оптимальной стратегией І0 по этому критерию считается та, для которой выполняется соотношение . Обычно обозначает дисперсию, вычисленную по формуле (10). Недостаток этого критерия заключается в том, что он не учитывает структуру платежной матрицы.

Во второй, третьей, четвертой информационных ситуациях при частично заданном или незаданном распределении вероятностей состояний «природы» применяют критерии, которые подобно критерию Байеса, ориентируют на среднее. Оценку вероятностей QJ позволяют определить принцип недостаточного основания Лапласа или принцип максимума Гиббса-Джейна, рассмотренные ниже.

3) Критерий Бернулли-Лапласа согласно которому оптимальной стратегией считается та, для которой

, где Н = Н+, .

В основе этого критерия лежат критерий Байеса и принцип недостаточного основания Лапласа, определяющий оценки вероятностей . Таким образом, предполагается, что все состояния одинаково вероятны, поэтому следует выбирать такую строку І0 платежной матрицы, для которой средний выигрыш является наибольшим.

4) Принцип Гиббса-Джейнса также позволяет получить оценки априорных вероятностей в информационных ситуациях I2, I3, I4С целью применения критерий Байеса. Согласно принципу максимальной неопределенности Гиббса-Джеймса наиболее характерным распределением вероятностей состояний "«природы» является такое распределение, которое максимизирует значение энтропии Шеннона при заданных ограничениях на компоненты QJ вектора Q. Заметим, что энтропия является мерой неопределенности. При отсутствии ограничений (в информационной ситуации I4) среди всех допустимых распределений Q наиболее неопределенным является то, для которого равновероятны N возможных состояний «природы»:

Поэтому в этом случае оценкой вероятностей служат , что совпадает с принципом Лапласа.

В пятой информационной ситуации поведение «природы» антагонистично, применяют критерии, которые ориентируют ЛПР на самые неблагоприятные состояния «природы», т. е. эти критерии выражают пессимистическую оценку ситуации. Поведение ЛПР предельно осторожно, так как ЛПР рассчитывает на худшее. Приведем три наиболее часто применяемые в информационной ситуации I5 Критерия.

5) Максимальный критерий Вальда, согласно которому оптимальная стратегия І0 та, для которой выполняется , где

6) Минимальный критерий Сэвиджа, согласно которому оптимальная стратегия І0 та, для которой выполняется , где

7) Критерий минимального риска (сожаления) Сэвиджа, согласно которому оптимальная стратегия І0 та, при которой величина максимального риска в наихудших условиях минимизируется, то есть обеспечивается .

В последнем случае предполагается, что любое решение сопоставляется с тем решением, которое было бы принято, если бы было известно состояние «природы». Этот критерий приводит к выбору строки І0 платежной матрицы, содержащей элемент, который минимизирует наибольших риск (сожаление).

В шестой информационной ситуации I6 чаще других применяются два следующих критерия.

8) Критерий Гурвицы, согласно которому оптимальная стратегия І0 та, для которой выполняется ,

Где .

Фиксированное число L называют показателем Гурвицы. При L = 1 критерий Гурвица совпадает с критерием крайнего пессимизма, то есть максимальным критерием Вальда, а при L = 0 критерий Гурвица совпадает с максимальным критерием крайнего оптимизма.

.

Применение критерия крайнего оптимизма предполагает, что «природа» – это «доброжелательный» партнер, поэтому ЛПР рассчитывает на лучшее, верит в удачу.

Когда 0<l<1 критерий Гурвица является критерием пессимизма-оптимизма, ориентируя ЛПР на компромисс.

9) Критерий Ходжеса-Лемана, согласно которому оптимальная стратегия І0 та, для которой выполняется , где , l - постоянная 0£l£1, Н=Н-. В некотором смысле этот критерий представляет собой «смесь» критериев Байеса и Сэвиджа.

ПРИМЕР решения  платежной матрицы


Моделирование экономического риска и концепция теории игр и статистических решений - 4.0 out of 5 based on 1 vote