03 | 12 | 2016
Экономика
Литература

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 3.10 (5 Голоса)

Лекция  ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

1.  Основные характеристики экономико-математических моделей.

Осуществляя идентификацию и интерпретацию экономико-математических моделей, используют экономические показатели.

Каждая экономико-математическая модель реального явления характеризуется:

1.  объектом моделирования;

2.  системным описанием объекта;

3.  целями относительно построения модели;

4.  принципами моделирования;

5.  аппаратом моделирования;

6.  способом идентификации и интерпретации результатов.

Объектом моделирования может быть и реальная хозяйственная система, или одних или нескольких процессов, которые развиваются в такой системе. На предварительном этапе построения модели необходимо описание объекта в виде системы, то есть обнаружить существенные границы его взаимодействий с внешней средой, его структуру. Модели, которые отображают (Замещают) один и тот же объект с разных точек зрения, следует считать разными.

Понятие Адекватности Модели имеет несколько различных граней:

1.  можно вести речь об адекватности модели относительно исследуемого реального процесса, понимая под этим Степень соответствия его характеристик характеристикам объекта;

2.  необходимо оценивать Адекватность модели относительно поставленной задачи (целей).

Аппарат моделирования определяется типом математических конструкций, которые используются для построения модели. Наиболее распространенными являются модели, построенные с помощью аппарата линейной алгебры, регрессионного анализа, линейных дифференциальных уравнений. Выбор аппарата моделирования В значительной мере основывается на гипотезах, которые положены в основу построения модели.

2. Общие понятия производственной функции.

Производственная функция (ПФ) – это особый вид экономико-статистических моделей.

А. Объект моделирования. Непосредственным объектом моделирования относительно ПФ являются процессы производства продукции в реально функционирующих на протяжении определенного отрезка времени хозяйственных системах на предприятии (фирме), в отрасли, регионе или в государственном хозяйстве в целом. Соответственно, относительно уровня моделируемой системы ПФ делятся На макроэкономические, региональные, отраслевые, а так же ПФ предприятия.

Б. Системное описание объекта. В теории ПФ производственные процесс анализируется с точки зрения преобразования ресурсов в продукт (продукцию). Входами являются потоки ресурсов, полностью или частично используемые в производстве, Выходами – готовая к реализации продукция. Функционирующие в системе ресурсы (факторы), технология и условия организации производства определяют потенциальные возможности и состояние процесса (системы).

В. Цели моделирования. ПФ строится для решения определенных экономических задач, которые касаются анализа, прогнозирования и планирования (в узком понимании смысла). Используются ПФ как самостоятельно, так и в составе обобщенных экономико-математических моделей. Цель построения ПФ можно охарактеризовать как анализ факторов относительно существенного влияния их на объемы выпуска продукции. В каждой конкретной ситуации эта цель имеет свои особенности, которые существенным образом влияют на процесс построения функции. Целесообразно различать такие возможные способы использования ПФ:

1.  определение объемов выпуска при фиксированных объемах показателей основных ресурсов (случай, когда эти объемы несущественно отличаются от тех, которые наблюдались в прошлом);

2.  то же самое относительно случая объемов ресурсов, которые существенно отличаются от всех, которые наблюдались в прошлом;

3.  определение объемов выпуска для заданных значений объемов ресурсов, которые принадлежат некоторой непрерывной области (в частности таких, которые изменяются в некоторых границах);

4.  определение влияния на объем выпуска малого изменения объемов одного или нескольких ресурсов;

5.  определение (выявление) характеристик производственного процесса, который выражается через параметры ПФ.

Г. Принципы моделирования. В основе наиболее распространенного понятия ПФ лежат причины, которые выражают роль аксиоматических положений теории производственных функций:

1.  объем выпуска продукции, выработанной данной производственной системой за определенный период, определяется объемами средств и предметов производства, а так же живого труда, которые принимают участие в процессе производства в течение этого периода;

2.  связь между объемами выпуска и объемами средств производства, предметов труда и живого труда является для данной производственной системы закономерной и относительно устойчивой;

3.  в ряде случаев дополнительно принимается гипотеза, о том, что в некоторых определенных границах любое независимое изменение аргументов ПФ допускает реальную интерпретацию.

Д. Аппарат моделирования. Основным «материалом» для построения производственной функции является зависимость , где Показатель выпуска (объем), Объемы производственных ресурсов (факторов). Функция считается определенной в довольно широкой области Мерного евклидова пространства и такой, что вычисляется в области своего определения. Это означает, что системный аналитик должен иметь в своем распоряжении алгоритм, который позволял бы вычислять значения в любой точке, где она определена. Как правило, ПФ строится путем подбора наиболее адекватных функций из определенного параметрического класса , где Вектор параметров.

Непосредственным аппаратом моделирования в пределах данной концепции ПФ являются определенные параметрические классы функций (как правило зависимость от переменных и параметров задается в явном виде или в виде функциональных (дифференциальных, интегральных или интегро-дифференциальных) уравнений.

Е. Идентификация и интерпретация модели. Переменные отождествляется с показателями объемов выпуска и основными факторами (ресурсами), которые принимают участие в производстве. Допускается возможность спецификации параметров ПФ на основании статистических (или экспертных) данных относительно ресурсов и выпуска продукции за предшествующие периоды, а также плановых и опосредованных данных. Метод оценки параметров не определяется однозначно, он зависит от целей построения ПФ, особенностей моделируемого процесса и исходных данных. Интерпретация параметров зависит от метода их оценивания. Часто для интерпретации выделенных параметров привлекаются их выражения через значение показателей, а также значение частных производных .

Экономическое содержание и этапы построения производственной функции.

Считается, что ПФ является экономико-статистической моделью процесса производства продукции в данной экономической системе и выражает устойчивую экономическую количественную зависимость между объемными показателями ресурсов и выпуском продукции.

Понятие ПФ определенного объекта как функции, которая вместе с областью определения наилучшим образом аппроксимирует агрегированную экономическую технологию , определяет строгую последовательность действий для построения.

Поскольку производственная функция строится в результате использования вычислительного метода и оптимизации, этапом в этом построении является использование, так называемых, пробных функций и областей их определения, то есть выбор бинарного отношения , на множестве вычисляемых функций. Выбор этого отношения предполагает определение вида функции и формирование принципов оценивания параметров. Для этого необходимо:

1.  собрать, обработать и использовать необходимую информацию относительно производственного процесса и влияния на него внешних условий;

2.  сформулировать цели и задачи, для решения которых строится производственная функция;

3.  проанализировать основы существования и свойства экономико-технологической функции ;

4.  предварительно фиксировать систему показателей оценки ресурсов и выпуска .

Выделяют такие этапы построения ПФ:

1.  формулировка целей построения производственной функции;

2.  системный анализ объекта моделирования;

3.  экономический качественный анализ объекта;

4.  определение системы показателей производственной функции ;

5.  формирование информационной базы для анализа технологии и для построения производственной функции;

6.  анализ существования и свойств экономической технологии;

7.  определение принципов сравнения функций относительно их приближения к технологии (формирование отношения );

8.  определение вычислительного алгоритма для оптимизации отношения ;

9.  подготовка (выбор) программного обеспечения относительно реализации алгоритма на компьютере;

10.вычисление производственной функции и ее использование.

Типы производственных функций.

Пусть Множество всех функций переменных, определенных в некоторой области . Подмножество называется Параметрическим, если существует подмножество и отображение , то есть такое, что . В Параметрическом классе каждая функция

Полностью определяется вектором параметров и может быть записана как . Содержание параметризации некоторого множества функций, в сущности, аналогично введению системы координат, с помощью которой каждая функция из этого множества отождествляется с последовательностью своих координат.

Множество не быть Параметрическим ни при одном конечном .

Если отображение является линейным, то есть , , то класс образуют функции, линейные по параметрам.

Предположим, что все функции дифференцируемы до второго порядка включительно, а множество совпадает с . Соотношения

, ,

Рассмотрим как систему из уравнений относительно параметров . Количество параметров имеет тот же порядок, количество переменных , поэтому большей частью параметры можно выразить как функции используя уравнений из этой системы. Подставляя полученные выражения в уравнения, которые остались, можно получить систему дифференциальных уравнений относительно функции , которая уже не содержит параметров. Часто таким способом можно достичь того, чтобы множество решений полученной системы уравнений относительно функции совпало бы с (было бы общим интегралом системы).

Собственно, то, что функции принадлежат классу, который удовлетворяет этой системе дифференциальных уравнений с частными производными, и является тем свойством, которое их объединяет. Это обстоятельство дает ключ к выбору вида производственной функции определенного объекта.

Для каждого из видов функций можно указать одну или несколько систем условий для характеристики функций данного вида, которые однозначно выделяют именно этот вид от других.

5. Двухфакторные производственные функции.

В приведенном ниже списке функции располагаются в порядке возрастания сложности их записи и, соответственно, увеличения количества необходимых для этого параметров. Все они допускают возможность их модификации.

1. Функция с фиксированными пропорциями факторов (Функция Леонтьева):

, (1)

Где Параметры.

Известно несколько альтернативных систем (гипотез), которые выделяют функции этого вида:

1.  предельная производительность первого фактора является кусочно-постоянной невозрастающей функцией от отношения , предельная производительность второго фактора – неубывающей кусочно-постоянной функцией от ;

2.  функция является решением задачи оптимизации:

,

Где Переменная, которую оптимизируют.

3.  функция является однородной, а эластичность замещения факторов равна нулю;

4.  функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью вида

Путем предельного перехода: .

Функция Леонтьева предназначена В основном для моделирования строго детерминированных технологий, которые не допускают отклонения от технологических норм и нормативов относительно использования ресурсов на единицу продукции. Как правило, она используется для формализованного описания мелкомасштабных или целиком автоматизированных объектов.

2. Функция Кобба-Дугласа:

, (2)

Здесь также используется несколько систем гипотез, которые выделяют класс функций Кобба-Дугласа среди дважды дифференцируемых функций двух переменных:

1.  эластичности выпуска по факторам являются постоянными:

, .

Решение этой системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка принадлежит к классу функций Кобба-Дугласа;

2.  эластичность функции по одному из факторов является постоянной, и функция является однородной;

3.  функция является однородной, а эластичности уменьшения факторов по Алену и Михайловскому равны единице;

4.  предельная производительность каждого фактора является пропорциональной его средней производительности;

5.  функция является однородной функцией , и как функция от при любом фиксированном ;

6.  функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью путем существования замены вида

И предельного перехода . Функция Кобба-Дугласа чаще всего Используется для формализованного описания среднемасштабных хозяйственных объектов и экономики страны в целом.

3. Линейная функция:

. (3)

Предпосылки и гипотезы:

1.  предельные производительности факторов являются постоянными:

, ,

А в нуле функция равна нулю;

2.  предельная производительность одного из факторов будет постоянной и однородной первой степени:

, ;

3.  функция однородная, и эластичность замещения факторов по Алену является бесконечной;

4.  эластичность выпуска по факторам обратно пропорциональна их средней производительности.

Линейная функция применяется для моделирования крупномасштабных систем (крупные отрасли, народное хозяйство в целом), в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования большого количества разнообразных технологий. Особую роль играет гипотеза постоянства предельных производственных факторов или их неограниченного замещения.

4. Функция Алена:

(4)

Определяется такими условиями:

·  скорости роста предельных производительностей являются постоянными;

·  функция является однородной.

Функция Аллена при Используется для формализованного описания производственных процессов, в которых чрезмерное возрастание любого из факторов отрицательно влияет на объемы выпуска продукции (мелкомасштабные производственные системы с ограниченными возможностями переработки ресурсов).

5.  Функция постоянной эластичности замещения факторов (Функция CES):

(5)

Предпосылки и гипотезы:

1.  функция является однородной;

2.  эластичность замещения факторов – постоянна.

Функция CES Применяется в случае отсутствия точной информации относительно уровня взаимного замещения производственных факторов, и вместе с тем есть основания считать, что этот уровень существенно не изменится при изменении объемов привлеченных ресурсов. Функция CES может использоваться для моделирования систем любого уровня.

6.  Функция Солоу:

(6)

Характеризуется тем, что величина процентного изменения предельной нормы замещения факторов, которая связана с изменением одного из факторов на один процент, не зависит от начального уровня факторов.

7. Многофакторные производственные функции. Один из наиболее рациональных способов перехода от двухфакторных к многофакторным ПФ состоит в следующем.

Рассмотрим двухфакторную ПФ:

. (8)

Аргумент этой функции рассмотрим как обобщенный показатель, который зависит также от двух факторов и :

,

Где Некоторая функция. Подставляя это выражение в (8) получим трехфакторную функцию

,

Этот процесс можно продолжать. В общем виде: если задано двухфакторных функций , ,…, , то получим Факторную функцию:

В результате последовательной их подстановки. Операция такой супервозиции имеет очевидный экономический смысл: второй аргумент, например, двухфакторной функции, последовательно представляется в виде зависимости от показателей низших (детализированных) уровней.

Нетрудно проверить такие Свойства операции суперпозиции:

1.  если – неубывающие функции, Также неубывающая функция;

2.  если Линейно-однородные функции, а Однородная функция степени однородности , то Однородная функция степени однородности ;

3.  если Вогнутые неубывающие функции, то Вогнутая неубывающая функция.

Операция суперпозиции позволяет представлять многофакторные ПФ как суперпозицию двухфакторных функций.


ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ - 3.0 out of 5 based on 5 votes